Proviene da una famiglia di pallanuotisti di successo. Suo padre István Szívós è stato infatti campione olimpico a Montreal 1976, e il nonno István Szívós ha vinto l'oro in due occasioni, a Helsinki 1952 e Melbourne 1956.
Inizia la carriera nel KSI, del quale il padre Istvan è presidente; con l'Honved ha vinto una Coppa dei Campioni. Ha disputato anche altre quattro finali europee, tre sempre con la formazione ungherese ed una con la Pro Recco.